Группа 406 (9 3 2017)

«Интегрирование по частям»

, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:

 

Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.

.

повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.

 

Доказательство формулы.

= .

Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:

= .

Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.

.

= .

 

. Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

Составим таблицу:

 

 

 

.

 

Составим таблицу:

 

 

 

переходит в 1, и один из множителей исчезает.

.

 

А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.

 

Вычислить .

, так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:

 

 

 

.

.

 

 

 

.

.

 

 

 

= .

.

 

 

 

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:

= .

.

 

 

.

всю функцию, которая есть в этом интеграле. Несмотря на то, что один сомножитель, можно условно считать, что их два, но просто второй равен 1.

 

 

 

.

.

 

 

при интегрировании по частям:

 

 

 

.

.

=

=

. Знак модуля даже не нужен, т.к. .

 

 

(циклические интегралы)

.

.

 

 

 

. = .

.

 

 

 

.

можно выразить :

.

«циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

.

 

.

На первом шаге,

 

 

 

. Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.

 

 

 

 

=

.

в конце строки.

Можно записать так, раскрыв скобки:

арифметическим путём.

.

.

 

.

при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.

 

 

 

=

.

, то есть

через :

,

.

 

.

).

= 1.

.

.

 

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

.

неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

=

.

.

 

Вычислить .

В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

. Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

.

.

.

 

.

выделить полный квадрат:

.

сводится к интегралу:

= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

.

 

Вычислить .

=0.

.

.

.

 

Вычислить .

.

:

.

, и равен .

После обратной замены получаем ответ.

.

 

Тригонометрические преобразования.

Кроме различных арифметических преобразований типа разложения многочленов или дробей, существуют задачи, в которых нужно выполнить тригонометрические преобразования подынтегральной функции.

Вычислить интеграл .

.

= = .

.

 

применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.

=

.

Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.

.

.

 

Интегрирование рациональных дробей

— два многочлена каких-либо степеней.

с остатком. В результате, появятся некоторые степенные слагаемые вне этой дроби, найти первообразные от них не проблема. Таким образом, мы должны научиться интегрировать именно правильные дроби.

Есть некоторые виды дробей, действия с которыми сводятся к тем методам, которые мы уже изучали, это так называемые «простейшие дроби» (у них знаменатель дальше нельзя разложить на множители).

=

заменой сводится к , а далее как для степенной.

.

.

.

.

Рассмотрим общий случай, когда степень знаменателя произвольна. Дробь при этом уже правильная, если не так, то мы отделили целую часть и проинтегрировали её отдельно.

.

. Например, если все корни различны, то

 

Если сумму простейших привести к общему знаменателю, то останется приравнять числители, и найти неопределённые коэффициенты.

и различны.

.

.

.

.

 

, т.е.

, получается система уравнений:

.

=

.

 

, но среди них есть кратные.

. Таким образом, тот вариант метода разложения на простейшие, который был для различных корней, здесь приведёт к противоречию.

Разложение необходимо искать в таком виде:

 

.

 

.

.

Сначала извлечём дробь из интеграла, и ищем разложение в виде:

=

Приводим к общему знаменателю.

=

Так как знаменатели равны, то осталось приравнять числители.

,

=

.

То есть система уравнений на поиск трёх неопределённых коэффициентов:

.

Тогда исходный интеграл распадается на сумму:

=

.

 

 

1

 


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *